État de la solution
La solution admet deux racines réelles distinctes.
Mathématiques · Algèbre
Solveur d’équation du second degré
Résolvez ax² + bx + c = 0 dans les réels ou les complexes et visualisez le discriminant, le sommet et l’axe de symétrie de la parabole.
Créé le v1.0
Par Thibaut Grzelak, ingénieur calcul mécanique
03
Résultats
Racine x₁
Première racine ou racine double unique.
Racine x₂
Racine distincte ou conjuguée complexe.
Discriminant
Détermine le cas réel ou complexe.
Sommet
Point extrémal de la parabole.
Forme factorisée
Factorisation dans les nombres réels.
Axe de symétrie x
Droite verticale passant par le sommet.
Sens d’ouverture
Déterminé par le signe de a.
Affichage arrondi à quatre chiffres significatifs au maximum ; précision complète conservée pour le calcul.
Voir le détail du calculDéveloppement, discriminant, résolution étape par étape…
01Formules et symboles
Formules utilisées
Δ
Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/(2a)Δ : discriminant ; x₁ et x₂ : racines de l’équation.S
S = (−b/(2a), c − b²/(4a))S : sommet ; xₛ : abscisse du sommet.| Symbole | Définition |
|---|---|
| a | a — coefficient de x² |
| b | b — coefficient de x |
| c | c — terme constant |
| Δ | Discriminant |
| x₁ | Racine x₁ |
| x₂ | Racine x₂ |
| S | Sommet |
| xₛ | Axe de symétrie x |
| f(x) | Forme factorisée |
02Exemple de vérification
Cas numérique de référence
- a = 1, b = −3, c = 2 : Δ = 1, racines 1 et 2, sommet (1,5 ; −0,25). Pour (1 ; 2 ; 1), la racine double vaut −1 ; pour (1 ; 0 ; 1), les racines sont ±i.
03Principe de calcul
Si Δ > 0, deux racines réelles existent ; si Δ = 0, la racine est double. Pour Δ < 0, les racines conjuguées ont pour parties imaginaires ±√(−Δ)/(2|a|). Le graphe ne coupe alors pas l’axe réel.
S est le sommet : son abscisse définit l’axe de symétrie et son ordonnée est le minimum si a > 0 ou le maximum si a < 0.
04Limites et conventions
Coefficients réels et a ≠ 0. Le solveur traite un polynôme de degré deux. La précision flottante ne permet pas de distinguer des racines arbitrairement proches d’une racine double.
05Erreurs fréquentes
Un discriminant négatif indique des racines complexes, pas une équation invalide. Le signe de a détermine le sens d’ouverture.
06Questions pratiques
Que signifie un discriminant négatif ?
Un discriminant négatif signifie que l’équation du second degré n’a pas de racines réelles. Elle possède deux racines complexes conjuguées dont les parties imaginaires sont de signes opposés.
Quand une équation du second degré a-t-elle une racine double ?
Il y a une racine réelle double lorsque le discriminant Δ = b² − 4ac est nul. Cette racine vaut x = −b/(2a) et correspond aussi à l’abscisse du sommet de la parabole.
07Références techniques
- Precalculus 2e — quadratic functions — OpenStax