Déterminant de A
-2
Déterminant signé de la matrice de coefficients.
Mathématiques · Vecteurs et matrices
Calculateur de matrices — déterminant, inverse et opérations
Calculez déterminant, inverse, somme, différence et produit de matrices 2×2 ou 3×3 avec des résultats structurés.
Créé le v1.0
Par Thibaut Grzelak, ingénieur calcul mécanique
03
Résultats
Affichage arrondi à quatre chiffres significatifs au maximum ; précision complète conservée pour le calcul.
Voir le détail du calcul
01Déterminant de A
Formule
det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁Substitution
1 × 4 − 2 × 3Résultat
-2
01Formules et symboles
Formules utilisées
R
det A₂×₂ = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁
AA⁻¹ = I
det A : déterminant ; A⁻¹ : inverse ; I : matrice identité.
R
(AB)ᵢⱼ = ∑ₖ aᵢₖbₖⱼ
(A±B)ᵢⱼ = aᵢⱼ±bᵢⱼ
aᵢⱼ et bᵢⱼ : coefficients de la ligne i et de la colonne j.
| Symbole | Définition |
|---|---|
| n | Dimension |
| A | Matrice A |
| B | Matrice B |
| det A | Déterminant de A |
| R | Matrice résultat |
02Exemple de vérification
Cas numérique de référence
- A = [[1 ; 2], [3 ; 4]] a pour déterminant −2 et pour inverse [[−2 ; 1], [1,5 ; −0,5]]. Le produit A×A⁻¹ donne la matrice identité.
03Principe de calcul
Saisir une valeur dans chaque cellule de la grille matricielle. Les sommes et différences utilisent les éléments correspondants. Le produit combine lignes et colonnes. L’inverse est obtenu par élimination de Gauss-Jordan de [A|I].
L’élément de la ligne i et de la colonne j de AB est le produit scalaire de la ligne i de A et de la colonne j de B. Somme et différence utilisent les éléments correspondants.
04Limites et conventions
Matrices carrées réelles d’ordre 2 ou 3 et dimensions compatibles. Une matrice singulière n’a pas d’inverse. Les pivots normalisés inférieurs à 64 fois la précision machine sont traités comme nuls ; les inverses très mal conditionnés sont peu fiables.
05Erreurs fréquentes
Le produit n’est généralement pas commutatif : AB et BA peuvent différer. L’inverse n’est pas l’inverse individuel de chaque élément.
06Questions pratiques
Quand une matrice n’a-t-elle pas d’inverse ?
Une matrice carrée n’est pas inversible lorsqu’elle est singulière, ce qui équivaut à det(A) = 0. Ses lignes ou colonnes sont alors linéairement dépendantes.
Que signifie un déterminant nul ?
Un déterminant nul signifie que la matrice est singulière. Géométriquement, la transformation linéaire associée écrase une aire ou un volume à zéro ; aucune transformation inverse ne peut donc exister.