État de la solution
Solution unique
Mathématiques · Algèbre
Solveur de système linéaire — 2×2 et 3×3
Résolvez un système 2×2 ou 3×3 et distinguez solution unique, absence de solution et infinité de solutions.
Créé le v1.0
Par Thibaut Grzelak, ingénieur calcul mécanique
03
Résultats
Vecteur solution
- x
- 2
- y
- 1
Inconnues dans l’ordre x, y, z.
Déterminant de A
-2
Matrice augmentée réduite
| 1 | 0 | 2 |
| 0 | 1 | 1 |
Affichage arrondi à quatre chiffres significatifs au maximum ; précision complète conservée pour le calcul.
Voir le détail du calcul
01Déterminant de A
Formule
det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁Substitution
1 × (-1) − 1 × 1Résultat
-2
02[A | b]
Formule
[A | b]Résultat
| 1 | 1 | 3 |
| 1 | -1 | 1 |
03L₂
Formule
L₂ ← L₂ − kL₁Substitution
L₂ ← L₂ − 1 × L₁Résultat
| 1 | 1 | 3 |
| 0 | -2 | -2 |
04L₂
Formule
L₂ ← L₂ / pivotSubstitution
L₂ ← L₂ / (-2)Résultat
| 1 | 1 | 3 |
| 0 | 1 | 1 |
05L₁
Formule
L₁ ← L₁ − kL₂Substitution
L₁ ← L₁ − 1 × L₂Résultat
| 1 | 0 | 2 |
| 0 | 1 | 1 |
06État de la solution
Formule
rank(A) = rank([A | b]) = nSubstitution
2 = 2Résultat
Solution unique
07x
Formule
x = b′₁Substitution
2Résultat
2
08y
Formule
y = b′₂Substitution
1Résultat
1
09L₁(x)
Formule
a₁₁x + a₁₂y = b₁Substitution
1 × 2 + 1 × 1 ≈ 3Résultat
3
10L₂(x)
Formule
a₂₁x + a₂₂y = b₂Substitution
1 × 2 + (-1) × 1 ≈ 1Résultat
1
11Ax
Formule
Ax = bSubstitution
(2 ; 1)Résultat
(3 ; 1)
01Formules et symboles
Formules utilisées
x
Ax = b
rank(A) = rank([A|b]) = n
A : matrice des coefficients ; x : vecteur des inconnues ; b : second membre ; rang : nombre de pivots indépendants.
| Symbole | Définition |
|---|---|
| A | Matrice A |
| b | Seconds membres b |
| x | Vecteur solution |
| det A | Déterminant de A |
| [A|b] | Matrice augmentée réduite |
02Exemple de vérification
Cas numérique de référence
- x + y = 3 et x − y = 1 donnent x = 2, y = 1 et un déterminant de −2. Doubler la première équation donne une infinité de solutions avec un second membre de 6, et aucune solution avec 7.
03Principe de calcul
Renseigner les cellules des coefficients devant x, y, z, puis le second membre de chaque équation. L’élimination avec normalisation des lignes et pivot partiel réduit la matrice augmentée.
04Limites et conventions
Systèmes carrés réels d’ordre 2 ou 3. Les pivots inférieurs à 64 fois la précision machine après normalisation sont considérés numériquement nuls. Un système très mal conditionné peut être classé dépendant : le calcul n’est pas symbolique.
05Erreurs fréquentes
Conserver l’ordre des lignes et des seconds membres. Un déterminant nul ne permet pas à lui seul de distinguer absence de solution et infinité de solutions.
06Questions pratiques
Que signifie un système linéaire sans solution ?
Cela signifie que les équations sont incompatibles : aucun vecteur ne les satisfait toutes simultanément. Après réduction, cela apparaît par exemple sous la forme d’une ligne contradictoire 0 = valeur non nulle.
Pourquoi un système linéaire peut-il avoir une infinité de solutions ?
Cela arrive lorsque certaines équations sont dépendantes et qu’il n’existe pas assez de contraintes indépendantes pour déterminer toutes les inconnues de façon unique. Une ou plusieurs variables restent libres.