Aire
4u²
Surface délimitée par la figure.
Mathématiques · Géométrie
Calculateur de polygone régulier — aire, périmètre et angles
Calculez aire, périmètre, apothème, rayon circonscrit et angles à partir du nombre de côtés et de leur longueur.
Créé le v1.0
Par Thibaut Grzelak, ingénieur calcul mécanique
03
Résultats
Périmètre
8u
Longueur totale du contour.
Apothème
1u
Rayon
1,414u
Angle intérieur
90°
Angle extérieur
90°
Affichage arrondi à quatre chiffres significatifs au maximum ; précision complète conservée pour le calcul.
Voir le détail du calcul
01Périmètre
Formule
P = nsSubstitution
4 × 2Résultat
8
02Apothème
Formule
aₚ = s/(2tan(π/n))Substitution
2 / (2 × tan(π / 4))Résultat
1
03Rayon
Formule
R = s/(2sin(π/n))Substitution
2 / (2 × sin(π / 4))Résultat
1,414
04Aire
Formule
S = Paₚ/2Substitution
8 × 1 / 2Résultat
4
05Angle intérieur
Formule
α = 180°(n − 2)/nSubstitution
180° × (4 − 2) / 4Résultat
90
06Angle extérieur
Formule
β = 360°/nSubstitution
360° / 4Résultat
90
01Formules et symboles
Formules utilisées
S
P = ns
aₚ = s/(2tan(π/n))
S = Paₚ/2
n : nombre de côtés ; s : côté ; aₚ : apothème ; P : périmètre ; S : aire.
R
R = s/(2sin(π/n))
α = 180°(n−2)/n
β = 360°/n
R : rayon circonscrit ; α : angle intérieur ; β : angle extérieur.
| Symbole | Définition |
|---|---|
| n | Nombre de côtés |
| s | Longueur du côté s (u) |
| P | Périmètre |
| S | Aire |
| aₚ | Apothème |
| R | Rayon |
| α | Angle intérieur |
| β | Angle extérieur |
02Exemple de vérification
Cas numérique de référence
- n = 4 et s = 2 u : périmètre 8 u, aire 4 u², apothème 1 u, rayon circonscrit √2 u et angle intérieur 90°.
03Principe de calcul
Le polygone est divisé en n triangles identiques depuis son centre. Chaque triangle a une base s et une hauteur égale à l’apothème aₚ ; l’aire totale est nsaₚ/2.
Le rayon circonscrit relie le centre à un sommet. L’angle intérieur α et l’angle extérieur β ont une somme de 180° ; les n angles extérieurs totalisent 360°.
04Limites et conventions
Polygone convexe régulier, nombre entier de côtés de 3 à 1000 et côtés positifs. Longueurs en u. Au-delà de 100 côtés, le schéma est une approximation circulaire signalée ; les résultats utilisent toujours n.
05Erreurs fréquentes
Ces relations ne s’appliquent pas aux polygones irréguliers. L’apothème rejoint le milieu d’un côté, tandis que le rayon circonscrit rejoint un sommet.
06Questions pratiques
Quelle est la différence entre l’apothème et le rayon circonscrit ?
L’apothème est la distance perpendiculaire du centre à un côté. Le rayon circonscrit relie le centre à un sommet ; il est donc supérieur à l’apothème pour un polygone régulier ayant un nombre fini de côtés.
Comment le nombre de côtés influence-t-il l’angle intérieur ?
Pour un polygone régulier à n côtés, chaque angle intérieur vaut 180°(n−2)/n. Quand n augmente, cet angle tend vers 180° tandis que l’angle extérieur 360°/n tend vers zéro.