Équation
ŷ = 2x
Équation de la droite obtenue.
Mathématiques · Statistiques
Calculateur de régression linéaire — pente, ordonnée à l’origine et R²
Ajustez y = ax + b par moindres carrés et visualisez les points, la droite ajustée, la corrélation et R².
Créé le v1.0
Par Thibaut Grzelak, ingénieur calcul mécanique
03
Résultats
Coefficient de détermination R²
1
Part de dispersion expliquée ; indéfini si y est constant.
Pente a
2
Ordonnée à l’origine b
0
Corrélation r
1
Effectif n
3
Moyenne x
2
Moyenne y
4
Affichage arrondi à quatre chiffres significatifs au maximum ; précision complète conservée pour le calcul.
Voir le détail du calcul
01Moyenne x
Formule
x̄ = x₀ + ∑(xᵢ − x₀)/nSubstitution
1 + 3 / 3Résultat
2
02Moyenne y
Formule
ȳ = y₀ + ∑(yᵢ − y₀)/nSubstitution
2 + 6 / 3Résultat
4
03Sxx
Formule
Sxx = ∑(xᵢ − x̄)²Substitution
(-1)² + 0² + 1²Résultat
2
04Sxy
Formule
Sxy = ∑(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)Substitution
(-1) × (-2) + 0 × 0 + 1 × 2Résultat
4
05Syy
Formule
Syy = ∑(yᵢ − ȳ)²Substitution
(-2)² + 0² + 2²Résultat
8
06Pente a
Formule
a = Sxy/SxxSubstitution
4 / 2Résultat
2
07Ordonnée à l’origine b
Formule
b = ȳ − ax̄Substitution
4 − 2 × 2Résultat
0
08Équation
Formule
ŷ = ax + bSubstitution
2 × x + 0Résultat
ŷ = 2x
09Corrélation r
Formule
r = Sxy/√(Sxx·Syy)Substitution
4 / √(2 × 8)Résultat
1
10Coefficient de détermination R²
Formule
R² = r²Substitution
1²Résultat
1
01Formules et symboles
Formules utilisées
ŷ
a = (∑(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ))/(∑(xᵢ−x̄)²)
b = ȳ−ax̄
ŷ = ax+b
a : pente ; b : ordonnée à l’origine ; ŷ : valeur ajustée ; x̄ et ȳ : moyennes.
r
r = Sxy/√(SxxSyy)
R² = r²
Sxx, Syy et Sxy : sommes centrées ; r : corrélation ; R² : coefficient de détermination.
| Symbole | Définition |
|---|---|
| (xᵢ,yᵢ) | Couples (x ; y), un par ligne |
| a | Pente a |
| b | Ordonnée à l’origine b |
| ŷ | Équation |
| R² | Coefficient de détermination R² |
| r | Corrélation r |
| n | Effectif n |
| x̄ | Moyenne x |
| ȳ | Moyenne y |
02Exemple de vérification
Cas numérique de référence
- (1 ; 2), (2 ; 4), (3 ; 6) donnent pente 2, ordonnée à l’origine 0, R² = 1 et r = 1. Pour (1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 2), la pente vaut 0,5 et R² vaut 0,75.
03Principe de calcul
La pente divise la somme des produits croisés centrés par la somme des écarts en x au carré. L’ordonnée à l’origine fait passer la droite par (x̄ ; ȳ). R² = r² pour cet ajustement avec ordonnée à l’origine lorsque y n’est pas constant.
Sxx et Syy additionnent les écarts centrés au carré ; Sxy additionne les produits croisés centrés. La corrélation r mesure le sens et l’association linéaire. R² est la part de variance expliquée pour cet ajustement lorsque y varie.
04Limites et conventions
De 2 à 5000 couples finis, avec au moins deux abscisses distinctes. Si toutes les ordonnées sont identiques, la droite est constante mais r et R² sont indéfinis. Les grandes valeurs sont centrées avant les sommes. Le graphe montre au plus 500 points échantillonnés ; tous participent au calcul.
05Erreurs fréquentes
Un R² élevé ne prouve pas une causalité et ne justifie pas l’extrapolation. Les points répétés comptent comme des observations répétées ; les valeurs aberrantes influencent fortement la droite.
06Questions pratiques
Que signifie réellement R² ?
R² représente la part de la variation de la réponse expliquée par la relation linéaire ajustée dans ce modèle. Une valeur proche de 1 indique un bon ajustement aux données observées, pas nécessairement un bon modèle causal ou prédictif hors de ces données.
Un R² élevé prouve-t-il qu’une variable cause l’autre ?
Non. Une régression mesure une association dans les données fournies. Des variables confondantes, une causalité inverse ou une coïncidence peuvent produire une relation forte sans lien causal direct.