Moyenne
3
Moyenne arithmétique des données.
Mathématiques · Statistiques
Calculateur de statistiques descriptives — moyenne et dispersion
Calculez moyenne, médiane, variance, écart-type et quartiles avec un choix explicite entre population et échantillon.
Créé le v1.0
Par Thibaut Grzelak, ingénieur calcul mécanique
03
Résultats
Écart-type
1,414
Racine carrée de la variance choisie.
Effectif n
5
Somme
15
Médiane
3
Minimum
1
Maximum
5
Étendue
4
Variance
2
Premier quartile Q1
2
Troisième quartile Q3
4
Affichage arrondi à quatre chiffres significatifs au maximum ; précision complète conservée pour le calcul.
Voir le détail du calcul
01Effectif n
Formule
n = # {xᵢ}Résultat
5
02Somme
Formule
∑ᵢ xᵢSubstitution
1 + 2 + 3 + 4 + 5Résultat
15
03d̄
Formule
dᵢ = xᵢ − x₀ ; d̄ = (∑ᵢ dᵢ)/nSubstitution
10 / 5Résultat
2
04Moyenne
Formule
x̄ = x₀ + d̄Substitution
1 + 2Résultat
3
05S₂
Formule
S₂ = ∑ᵢ(dᵢ − d̄)²Substitution
(-2)² + (-1)² + 0² + 1² + 2²Résultat
10
06Variance
Formule
σ² = S₂/nSubstitution
10 / 5Résultat
2
07Écart-type
Formule
σ = √σ²Substitution
√(2)Résultat
1,414
08x₀ ≤ … ≤ xₙ₋₁
Formule
x₀ ≤ x₁ ≤ … ≤ xₙ₋₁Résultat
(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5)
09Premier quartile Q1
Formule
h = (n − 1)p ; h = j ⇒ Q(p) = xⱼSubstitution
h = (5 − 1) × 0,25 = 1; j = 1; Q = 2Résultat
2
10Médiane
Formule
h = (n − 1)p ; h = j ⇒ Q(p) = xⱼSubstitution
h = (5 − 1) × 0,5 = 2; j = 2; Q = 3Résultat
3
11Troisième quartile Q3
Formule
h = (n − 1)p ; h = j ⇒ Q(p) = xⱼSubstitution
h = (5 − 1) × 0,75 = 3; j = 3; Q = 4Résultat
4
12Minimum
Formule
min = x₀Substitution
1Résultat
1
13Maximum
Formule
max = xₙ₋₁Substitution
5Résultat
5
14Étendue
Formule
max − minSubstitution
5 − 1Résultat
4
01Formules et symboles
Formules utilisées
x̄
x̄ = (∑ xᵢ)/n
σ² = (∑(xᵢ−x̄)²)/n
s² = (∑(xᵢ−x̄)²)/(n−1)
x̄ : moyenne ; n : effectif ; σ² : variance de population ; s² : variance d’échantillon.
Q
h = (n−1)p
j = ⌊h⌋
Q(p) = xⱼ + (h−j)(xⱼ₊₁−xⱼ)
Q(p) : quantile R7 à la proportion p ; j : indice entier à partir de zéro dans la série triée.
| Symbole | Définition |
|---|---|
| xᵢ | Valeurs de la série |
| n | Effectif n |
| ∑xᵢ | Somme |
| x̄ | Moyenne |
| Q₂ | Médiane |
| min | Minimum |
| max | Maximum |
| max−min | Étendue |
| σ² / s² | Variance |
| σ / s | Écart-type |
| Q₁ | Premier quartile Q1 |
| Q₃ | Troisième quartile Q3 |
02Exemple de vérification
Cas numérique de référence
- [1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5] : moyenne 3, médiane 3, étendue 4, variance de population 2, écart-type √2 et variance d’échantillon 2,5. R7 donne Q1 = 2 et Q3 = 4 ; pour [1 ; 2 ; 3 ; 4], Q1 = 1,75 et Q3 = 3,25.
03Principe de calcul
La variance de population divise les écarts au carré par n ; celle d’échantillon divise par n−1. Q1, médiane et Q3 utilisent l’interpolation linéaire R7 à l’indice (n−1)p de la série triée, avec p = 0,25, 0,5 et 0,75.
Dans la série triée avec des indices commençant à zéro, h situe le percentile entre deux valeurs voisines ; la partie fractionnaire h−j donne le poids d’interpolation. Au dernier indice, on utilise directement la dernière valeur.
04Limites et conventions
De 1 à 5000 valeurs finies non pondérées ; au moins deux en mode échantillon. Les conventions de quartiles peuvent produire des réponses différentes. Jusqu’à 20 observations, chaque valeur est représentée par un point ; au-delà, l’histogramme utilise au plus 20 classes ; toutes les valeurs participent aux statistiques.
05Erreurs fréquentes
La variance utilise l’unité des données au carré ; l’écart-type utilise l’unité initiale. Le mode échantillon convient à l’estimation d’une variance à partir d’un échantillon.
06Questions pratiques
Quelle est la différence entre écart-type de population et écart-type d’échantillon ?
L’écart-type de population divise la somme des écarts quadratiques par n car toute la population est décrite. L’écart-type d’échantillon utilise n−1 pour estimer la variabilité de la population à partir d’un échantillon.
Pourquoi la moyenne et la médiane peuvent-elles être très différentes ?
La moyenne utilise toutes les valeurs et peut être fortement déplacée par des observations extrêmes. La médiane dépend de la position centrale après tri et est donc généralement moins sensible aux valeurs aberrantes et aux distributions asymétriques.