Aire
6u²
Surface délimitée par la figure.
Mathématiques · Géométrie
Solveur de triangle — côtés, angles et aire
Résolvez un triangle avec trois côtés, deux côtés et l’angle compris, ou deux angles et un côté. Obtenez aire et périmètre.
Créé le v1.0
Par Thibaut Grzelak, ingénieur calcul mécanique
03
Résultats
Périmètre
12u
Longueur totale du contour.
Côté a
3u
Côté opposé à A.
Côté b
4u
Côté opposé à B.
Côté c
5u
Côté opposé à C.
Angle A
36,87°
Opposé au côté a.
Angle B
53,13°
Opposé au côté b.
Angle C
90°
Opposé au côté c.
Affichage arrondi à quatre chiffres significatifs au maximum ; précision complète conservée pour le calcul.
Voir le détail du calcul
01Angle A
Formule
A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))Substitution
arccos((4² + 5² − 3²) / (2 × 4 × 5)) × 180°/πRésultat
36,87
02Angle B
Formule
B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac))Substitution
arccos((3² + 5² − 4²) / (2 × 3 × 5)) × 180°/πRésultat
53,13
03Angle C
Formule
C = 180° − A − BSubstitution
180° − 36,87° − 53,13°Résultat
90
04Périmètre
Formule
P = a + b + cSubstitution
3 + 4 + 5Résultat
12
05p
Formule
p = P/2Substitution
12 / 2Résultat
6
06Aire
Formule
S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))Substitution
√(6 × (6 − 3) × (6 − 4) × (6 − 5))Résultat
6
01Formules et symboles
Formules utilisées
a
a/sin A = b/sin B = c/sin C
A + B + C = 180°
a, b, c : côtés opposés aux angles A, B, C (en degrés).
c
c² = a² + b² − 2ab cos C
C : angle compris entre a et b.
S
S = √(p(p−a)(p−b)(p−c))
p = (a+b+c)/2
S : aire ; p : demi-périmètre.
| Symbole | Définition |
|---|---|
| a | Côté a (u) |
| b | Côté b (u) |
| c | Côté c (u) |
| A | Angle A (°) |
| B | Angle B (°) |
| C | Angle C (°) |
| S | Aire |
| P | Périmètre |
02Exemple de vérification
Cas numérique de référence
- SSS a = 3, b = 4, c = 5 : périmètre 12 u, aire 6 u² et C = 90°. Pour un triangle équilatéral de côté 2 u, l’aire vaut √3 u² et les angles valent 60°.
03Principe de calcul
Les côtés a, b, c sont opposés aux angles A, B, C. SAS utilise a, b et l’angle compris C ; ASA utilise A, B et c ; AAS utilise A, B et a. Les lois des sinus et des cosinus complètent les données.
La loi des cosinus relie les deux côtés connus et leur angle inclus C au côté opposé c ; en SSS, elle permet aussi de retrouver chaque angle.
La formule de Héron utilise le demi-périmètre p et les trois côtés pour calculer l’aire sans connaître de hauteur.
04Limites et conventions
Côtés positifs dans une même unité ; angles en degrés. L’inégalité triangulaire doit être stricte. Le cas SSA est exclu car il peut donner deux solutions. Les triangles dégénérés sont rejetés.
05Erreurs fréquentes
En SAS, saisir l’angle compris C et conserver la correspondance entre chaque côté et l’angle opposé.
06Questions pratiques
Combien de mesures faut-il pour déterminer un triangle ?
Il faut généralement trois mesures indépendantes, dont au moins une longueur. Les combinaisons SSS, SAS, ASA et AAS conviennent ; trois angles seuls fixent la forme mais pas l’échelle.
Pourquoi certaines combinaisons côté-angle peuvent-elles donner deux triangles ?
Le cas ambigu SSA peut correspondre à deux triangles différents, car la loi des sinus peut admettre deux angles supplémentaires ayant le même sinus. Ce calculateur exclut SSA plutôt que de choisir arbitrairement une solution.
07Références techniques
- Precalculus 2e — non-right triangles and trigonometry — OpenStax
- Precalculus 2e — law of sines — OpenStax