Produit scalaire
0
Somme des produits des composantes correspondantes.
Mathématiques · Vecteurs et matrices
Calculateur de produit scalaire et d’angle entre vecteurs
Obtenez produit scalaire, normes, cosinus et angle entre deux vecteurs en 2D ou 3D.
Créé le v1.0
Par Thibaut Grzelak, ingénieur calcul mécanique
03
Résultats
Angle θ
90°
Angle en degrés ; indéfini pour une direction nulle.
Norme de A
1
Norme de B
1
Cosinus de θ
0
Affichage arrondi à quatre chiffres significatifs au maximum ; précision complète conservée pour le calcul.
Voir le détail du calcul
01Norme de A
Formule
‖A‖ = √(∑ᵢ Aᵢ²)Substitution
√(1² + 0²)Résultat
1
02Norme de B
Formule
‖B‖ = √(∑ᵢ Bᵢ²)Substitution
√(0² + 1²)Résultat
1
03Produit scalaire
Formule
A·B = ∑ᵢ AᵢBᵢSubstitution
1 × 0 + 0 × 1Résultat
0
04Cosinus de θ
Formule
cos θ = (A·B)/(‖A‖‖B‖)Substitution
0 / (1 × 1)Résultat
0
05Angle θ
Formule
θ = arccos(cos θ)Substitution
arccos(0) × 180°/πRésultat
90
01Formules et symboles
Formules utilisées
θ
A·B = ∑ AᵢBᵢ
cos θ = (A·B)/(‖A‖‖B‖)
A·B : produit scalaire ; θ : angle ; ‖A‖ et ‖B‖ : normes.
| Symbole | Définition |
|---|---|
| d | Dimension |
| Aₓ | Vecteur A — ₓ |
| Aᵧ | Vecteur A — ᵧ |
| A_z | Vecteur A — 𝓏 |
| Bₓ | Vecteur B — ₓ |
| Bᵧ | Vecteur B — ᵧ |
| B_z | Vecteur B — 𝓏 |
| A·B | Produit scalaire |
| ‖A‖ | Norme de A |
| ‖B‖ | Norme de B |
| cos θ | Cosinus de θ |
| θ | Angle θ |
02Exemple de vérification
Cas numérique de référence
- A = (1 ; 0), B = (0 ; 1) : A·B = 0, normes 1, cos θ = 0 et θ = 90°.
03Principe de calcul
Le produit scalaire additionne les produits des composantes. Sa division par les deux normes donne le cosinus de l’angle, compris entre 0° et 180°. Le cosinus est borné à [−1 ; 1] pour absorber l’arrondi flottant.
04Limites et conventions
Même dimension et repère orthonormé. Avec un vecteur nul, le produit scalaire est nul mais l’angle et son cosinus sont indéfinis. La projection 3D ne représente pas l’angle spatial réel.
05Erreurs fréquentes
Un produit positif indique un angle aigu ; un produit négatif indique un angle obtus. Deux vecteurs non nuls perpendiculaires ont un produit scalaire nul.
06Questions pratiques
Que signifie géométriquement un produit scalaire nul ?
Pour deux vecteurs non nuls, A·B = 0 signifie qu’ils sont perpendiculaires puisque A·B = ‖A‖‖B‖cosθ. Le vecteur nul est un cas particulier car sa direction et son angle sont indéfinis.
Comment utiliser le produit scalaire pour trouver l’angle entre deux vecteurs ?
Pour deux vecteurs non nuls, calculer cosθ = (A·B)/(‖A‖‖B‖), puis θ = arccos(cosθ). L’angle obtenu est compris entre 0° et 180°.