Vecteur résultat
(0 ; 0 ; 1)
Composantes dans l’ordre du repère choisi.
Mathématiques · Vecteurs et matrices
Calculateur de produit vectoriel — vecteur 3D et aire
Calculez A×B, sa norme et les aires du parallélogramme et du triangle associés à deux vecteurs 3D.
Créé le v1.0
Par Thibaut Grzelak, ingénieur calcul mécanique
03
Résultats
Norme du vecteur
1
Longueur euclidienne du vecteur résultat.
Aire du parallélogramme
1
Aire du triangle
0,5
Affichage arrondi à quatre chiffres significatifs au maximum ; précision complète conservée pour le calcul.
Voir le détail du calcul
01Rₓ
Formule
R₁ = A₂B₃ − A₃B₂Substitution
0 × 0 − 0 × 1Résultat
0
02Rᵧ
Formule
R₂ = A₃B₁ − A₁B₃Substitution
0 × 0 − 1 × 0Résultat
0
03R_z
Formule
R₃ = A₁B₂ − A₂B₁Substitution
1 × 1 − 0 × 0Résultat
1
04Vecteur résultat
Formule
R = A×BRésultat
(0 ; 0 ; 1)
05Norme du vecteur
Formule
‖R‖ = √(∑ᵢ Rᵢ²)Substitution
√(0² + 0² + 1²)Résultat
1
06Aire du parallélogramme
Formule
Sₚ = ‖A×B‖Substitution
1Résultat
1
07Aire du triangle
Formule
Sₜ = Sₚ/2Substitution
1 / 2Résultat
0,5
01Formules et symboles
Formules utilisées
A×B
(AᵧB_z−A_zBᵧ, A_zBₓ−AₓB_z, AₓBᵧ−AᵧBₓ)
A×B : vecteur perpendiculaire à A et B, orienté par la règle de la main droite.
Sₚ
Sₚ = ‖A×B‖
Sₜ = Sₚ/2
Sₚ : aire du parallélogramme ; Sₜ : aire du triangle.
| Symbole | Définition |
|---|---|
| Aₓ | Vecteur A — ₓ |
| Aᵧ | Vecteur A — ᵧ |
| A_z | Vecteur A — 𝓏 |
| Bₓ | Vecteur B — ₓ |
| Bᵧ | Vecteur B — ᵧ |
| B_z | Vecteur B — 𝓏 |
| A×B | Vecteur résultat |
| ‖A×B‖ | Norme du vecteur |
| Sₚ | Aire du parallélogramme |
| Sₜ | Aire du triangle |
02Exemple de vérification
Cas numérique de référence
- A = (1 ; 0 ; 0), B = (0 ; 1 ; 0) : A×B = (0 ; 0 ; 1), norme 1, aire du parallélogramme 1 et aire du triangle 0,5.
03Principe de calcul
Dans un repère direct, A×B est perpendiculaire à A et B et suit la règle de la main droite. Sa norme est l’aire du parallélogramme ; la moitié donne l’aire du triangle.
L’aire du parallélogramme engendré par A et B est la norme du produit vectoriel. Une diagonale le partage en deux triangles de même aire.
04Limites et conventions
Trois composantes réelles par vecteur dans un repère orthonormé direct. Des vecteurs parallèles donnent un produit nul. La projection isométrique est illustrative ; les composantes exactes sont affichées.
05Erreurs fréquentes
L’ordre compte : B×A = −(A×B). Le produit scalaire ne donne ni la même grandeur ni une direction.
06Questions pratiques
Pourquoi le produit vectoriel est-il perpendiculaire aux deux vecteurs ?
Le produit vectoriel A×B est défini comme un vecteur normal au plan contenant A et B, orienté par la règle de la main droite. Sa norme vaut ‖A‖‖B‖sinθ.
Que signifie un produit vectoriel nul ?
Pour deux vecteurs non nuls, A×B = 0 signifie qu’ils sont parallèles ou antiparallèles. Le résultat est également nul si l’un des deux vecteurs est le vecteur nul.
07Références techniques
- Calculus Volume 3 — the cross product — OpenStax