Tensão de von Mises: fórmulas 2D, 3D e exemplo

1. Definição e resposta direta

O critério de von Mises, também chamado critério da energia de distorção ou critério J₂, transforma um tensor de tensões em uma única tensão equivalente positiva. Ele é usado principalmente para avaliar o início do escoamento em materiais dúcteis.

O valor independe da orientação do sistema de referência, mas todas as componentes inseridas na mesma fórmula devem ser coerentes e avaliadas no mesmo ponto.

2. Fórmula geral 3D em componentes cartesianas

A expressão usa as três tensões normais σx, σy, σz e as três tensões de cisalhamento independentes τxy, τyz, τzx. Todas as grandezas devem usar a mesma unidade, por exemplo MPa.

Os sinais das tensões normais participam das diferenças. O sinal de uma tensão de cisalhamento não altera diretamente o resultado, pois cada termo de cisalhamento é elevado ao quadrado.

3. Fórmula 2D para o estado plano de tensões

Para uma placa fina carregada em seu próprio plano, geralmente se adota σz = τyz = τzx = 0. Assim, a fórmula geral se reduz à expressão 2D.

Uma única tensão normal combinada com cisalhamento corresponde ao caso particular σy = 0: σᵥ = √(σx² + 3τxy²).

4. Fórmula por meio das tensões principais

No sistema de referência principal, as tensões de cisalhamento são nulas. Essa forma é prática quando σ₁, σ₂ e σ₃ provêm de um cálculo analítico ou de uma análise por elementos finitos.

Um estado hidrostático puro, com σ₁ = σ₂ = σ₃, fornece σᵥ = 0 porque não produz distorção.

5. Caso de tração–flexão–torção

No mesmo ponto da seção, primeiro some as tensões axial e de flexão com seus respectivos sinais. A torção fornece, então, a tensão de cisalhamento τ.

Verifique as fibras opostas quando a tensão de flexão mudar de sinal: a fibra crítica nem sempre é aquela escolhida intuitivamente.

6. Verificações rápidas de coerência

Três casos-limite simples ajudam a identificar erros de fórmula, sinal ou unidade.

• Se todas as tensões de cisalhamento forem nulas e restar apenas uma tensão normal, σᵥ = |σ|.
• Se restar apenas uma tensão de cisalhamento τ, σᵥ = √3·|τ|.
• Se σ₁ = σ₂ = σ₃, σᵥ = 0.
• O resultado não deve mudar quando todas as componentes forem expressas em outra unidade coerente.

7. Limites de aplicação

A comparação com o limite de escoamento pressupõe, entre outros fatores, um material dúctil, um estado de tensões avaliado corretamente e uma regra de projeto adequada. Materiais frágeis podem exigir outro critério.

Fadiga, soldas, plasticidade, temperatura, concentrações de tensão, estabilidade e requisitos normativos devem ser verificados separadamente quando pertinentes.