Von-Mises-Spannung: 2D- und 3D-Formeln mit Beispiel

1. Definition und direkte Antwort

Das Von-Mises-Kriterium, auch Gestaltänderungsenergie- oder J₂-Kriterium genannt, wandelt einen Spannungstensor in eine positive Vergleichsspannung um. Es wird hauptsächlich zur Beurteilung des Beginns der Plastifizierung duktiler Werkstoffe verwendet.

Der Wert ist unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems. Alle in einer Formel verwendeten Komponenten müssen jedoch konsistent sein und am selben Punkt ausgewertet werden.

2. Allgemeine 3D-Formel in kartesischen Komponenten

Diese Gleichung verwendet die drei Normalspannungen σx, σy, σz und die drei unabhängigen Schubspannungen τxy, τyz, τzx. Alle Größen müssen dieselbe Einheit besitzen, beispielsweise MPa.

Die Vorzeichen der Normalspannungen gehen in ihre Differenzen ein. Das Vorzeichen einer Schubspannung ändert das Ergebnis nicht unmittelbar, da jeder Schubterm quadriert wird.

3. 2D-Formel für ebenen Spannungszustand

Für eine dünne, in ihrer Ebene belastete Platte wird in der Regel σz = τyz = τzx = 0 gesetzt. Die allgemeine Formel reduziert sich dann auf die 2D-Gleichung.

Eine einzelne Normalspannung mit Schub ist der Sonderfall σy = 0: σᵥ = √(σx² + 3τxy²).

4. Formel mit Hauptspannungen

Im Hauptachsensystem sind die Schubspannungen null. Diese Form ist praktisch, wenn σ₁, σ₂ und σ₃ aus einer analytischen Berechnung oder einer Finite-Elemente-Analyse stammen.

Eine reine hydrostatische Spannung mit σ₁ = σ₂ = σ₃ ergibt σᵥ = 0, da sie keine Gestaltänderung erzeugt.

5. Fall Zug–Biegung–Torsion

Addieren Sie an demselben Querschnittspunkt zunächst Axial- und Biegespannung mit ihren Vorzeichen. Die Torsion liefert anschließend die Schubspannung τ.

Prüfen Sie gegenüberliegende Fasern, wenn die Biegespannung ihr Vorzeichen wechselt: Die kritische Faser ist nicht immer die intuitiv gewählte.

6. Schnelle Plausibilitätsprüfungen

Drei einfache Grenzfälle helfen, Fehler in Formel, Vorzeichen oder Einheit zu erkennen.

• Sind alle Schubspannungen null und bleibt nur eine Normalspannung, gilt σᵥ = |σ|.
• Bleibt nur eine Schubspannung τ, gilt σᵥ = √3·|τ|.
• Für σ₁ = σ₂ = σ₃ gilt σᵥ = 0.
• Das Ergebnis darf sich nicht ändern, wenn alle Komponenten in eine andere kohärente Einheit umgerechnet werden.

7. Anwendungsgrenzen

Der Vergleich mit der Streckgrenze setzt unter anderem einen duktilen Werkstoff, einen korrekt bestimmten Spannungszustand und eine geeignete Bemessungsregel voraus. Spröde Werkstoffe können ein anderes Kriterium erfordern.

Ermüdung, Schweißnähte, Plastizität, Temperatur, Spannungskonzentrationen, Stabilität und normative Anforderungen müssen bei Bedarf getrennt geprüft werden.