Tensión de von Mises: fórmulas 2D y 3D con ejemplo

1. Definición y respuesta directa

El criterio de von Mises, también llamado criterio de energía de distorsión o J₂, transforma un tensor de tensiones en una tensión equivalente positiva. Se utiliza principalmente para evaluar el inicio de la plastificación en materiales dúctiles.

El valor no depende de la orientación del sistema de coordenadas. No obstante, todas las componentes utilizadas en una fórmula deben ser coherentes y evaluarse en el mismo punto.

2. Fórmula general 3D en componentes cartesianas

Esta ecuación utiliza las tres tensiones normales σx, σy, σz y las tres tensiones cortantes independientes τxy, τyz, τzx. Todas las magnitudes deben tener la misma unidad, por ejemplo MPa.

Los signos de las tensiones normales intervienen en sus diferencias. El signo de una tensión cortante no cambia directamente el resultado porque cada término cortante está elevado al cuadrado.

3. Fórmula 2D para tensión plana

Para una placa delgada cargada en su plano suele suponerse σz = τyz = τzx = 0. La fórmula general se reduce entonces a la ecuación 2D.

Una única tensión normal combinada con cortante es el caso particular σy = 0: σᵥ = √(σx² + 3τxy²).

4. Fórmula con tensiones principales

En el sistema principal, las tensiones cortantes son nulas. Esta forma es práctica cuando σ₁, σ₂ y σ₃ proceden de un cálculo analítico o de un análisis por elementos finitos.

Una tensión hidrostática pura con σ₁ = σ₂ = σ₃ produce σᵥ = 0, porque no genera distorsión.

5. Caso tracción–flexión–torsión

En el mismo punto de la sección, sume primero la tensión axial y la tensión de flexión con sus signos. La torsión proporciona después la tensión cortante τ.

Compruebe las fibras opuestas cuando la tensión de flexión cambia de signo: la fibra crítica no siempre es la que parece intuitivamente.

6. Comprobaciones rápidas de coherencia

Tres casos límite sencillos ayudan a detectar errores de fórmula, signo o unidad.

• Si todas las tensiones cortantes son nulas y solo queda una tensión normal, σᵥ = |σ|.
• Si solo queda una tensión cortante τ, σᵥ = √3·|τ|.
• Para σ₁ = σ₂ = σ₃, σᵥ = 0.
• El resultado no debe cambiar si todas las componentes se convierten a otra unidad coherente.

7. Límites de aplicación

La comparación con el límite elástico supone, entre otras cosas, un material dúctil, un estado tensional correctamente determinado y una regla de dimensionamiento adecuada. Los materiales frágiles pueden requerir otro criterio.

La fatiga, las soldaduras, la plasticidad, la temperatura, las concentraciones de tensión, la estabilidad y las exigencias normativas deben comprobarse por separado cuando corresponda.