Von Mises-spanning: 2D- en 3D-formules met voorbeeld

1. Definitie en direct antwoord

Het Von Mises-criterium, ook wel vervormingsenergie- of J₂-criterium genoemd, zet een spanningstensor om in één positieve equivalente spanning. Het wordt vooral gebruikt om het begin van vloeien in ductiele materialen te beoordelen.

De waarde is onafhankelijk van de oriëntatie van het coördinatenstelsel, maar alle componenten in één formule moeten onderling consistent zijn en in hetzelfde punt worden geëvalueerd.

2. Algemene 3D-formule in Cartesische componenten

σᵥ = √{[(σx−σy)²+(σy−σz)²+(σz−σx)²]/2 + 3(τxy²+τyz²+τzx²)}

Deze uitdrukking gebruikt de drie normaalspanningen σx, σy, σz en de drie onafhankelijke schuifspanningen τxy, τyz, τzx. Alle grootheden moeten dezelfde eenheid gebruiken, bijvoorbeeld MPa.

De tekens van normaalspanningen zijn belangrijk in hun verschillen. Het teken van een schuifspanning verandert het resultaat niet rechtstreeks, omdat elke schuifterm wordt gekwadrateerd.

3. 2D-formule voor vlakke spanning

σᵥ = √(σx² − σx·σy + σy² + 3τxy²)

Voor een dunne plaat die in haar vlak wordt belast, wordt doorgaans σz = τyz = τzx = 0 aangenomen. De algemene formule reduceert dan tot de 2D-uitdrukking.

Eén normaalspanning gecombineerd met schuifspanning is het bijzondere geval σy = 0: σᵥ = √(σx² + 3τxy²).

4. Formule uit hoofdspanningen

σᵥ = √{[(σ₁−σ₂)²+(σ₂−σ₃)²+(σ₃−σ₁)²]/2}

In het hoofdassenstelsel zijn de schuifspanningen nul. Deze vorm is handig wanneer σ₁, σ₂ en σ₃ uit een analytische berekening of eindige-elementensoftware komen.

Zuiver hydrostatische spanning, met σ₁ = σ₂ = σ₃, geeft σᵥ = 0 omdat er geen distortie ontstaat.

5. Geval axiaal–buiging–torsie

σx = σa + σb ; σᵥ = √(σx² + 3τ²)

Tel in hetzelfde doorsnedepunt eerst de axiale en buigspanningen met hun teken op. Torsie levert vervolgens de schuifspanning τ.

Controleer tegenoverliggende vezels wanneer de buigspanning van teken verandert: de kritieke vezel is niet altijd degene die intuïtief wordt gekozen.

6. Snelle plausibiliteitscontroles

Vier eenvoudige grensgevallen helpen een fout in formule, teken of eenheid te herkennen.

Als alle schuifspanningen nul zijn en slechts één normaalspanning resteert, geldt σᵥ = |σ|.
Als alleen één schuifspanning τ resteert, geldt σᵥ = √3·|τ|.
Als σ₁ = σ₂ = σ₃, geldt σᵥ = 0.
Het resultaat mag niet veranderen wanneer alle componenten naar een andere coherente eenheid worden omgerekend.

7. Grenzen van gebruik

Vergelijking met de vloeigrens veronderstelt onder meer een ductiel materiaal, een correct bepaalde spanningstoestand en een passende ontwerpregel. Voor brosse materialen kan een ander criterium nodig zijn.

Vermoeiing, lassen, plasticiteit, temperatuur, spanningsconcentraties, stabiliteit en normvereisten moeten waar relevant afzonderlijk worden gecontroleerd.

Numeriek voorbeeld

Behouden voorbeeld: axiale belasting, buiging en torsie

In hetzelfde oppervlakpunt gelden σa = 80 MPa, σb = 40 MPa en τ = 30 MPa. De voor het voorbeeld gekozen toelaatbare waarde is 250 MPa.

Combineer de normaalspanningen: σx = 80 + 40 = 120 MPa.
Herken het 2D-geval met σy = 0: σᵥ = √(σx² + 3τ²).
Bereken σᵥ = √(120² + 3×30²) = 130,77 MPa.
Bereken de benutting: 130,77/250 = 52,31%.

Resultaat: De vereenvoudigde factor is ongeveer 1,912. Deze dekt vermoeiing of spanningsconcentraties niet automatisch af.

Formules gecontroleerd aan de hand van MIT OpenCourseWare en NASA-bronnen over het Von Mises-criterium. Open exacte bron ↗

Voor controle en verdere studie

Directe bronnen

Elke link verwijst naar de exacte cursus-, norm- of publicatiepagina die is gebruikt.