Tensione di von Mises: formule 2D, 3D ed esempio

1. Definizione e risposta diretta

Il criterio di von Mises, detto anche criterio dell'energia di distorsione o criterio J₂, trasforma un tensore delle tensioni in un'unica tensione equivalente positiva. È utilizzato principalmente per valutare l'inizio dello snervamento nei materiali duttili.

Il valore è indipendente dall'orientamento del sistema di riferimento, ma tutte le componenti inserite nella stessa formula devono essere coerenti e valutate nello stesso punto.

2. Formula generale 3D in componenti cartesiane

L'espressione utilizza le tre tensioni normali σx, σy, σz e le tre tensioni tangenziali indipendenti τxy, τyz, τzx. Tutte le grandezze devono utilizzare la stessa unità, ad esempio MPa.

I segni delle tensioni normali intervengono nelle differenze. Il segno di una tensione tangenziale non modifica direttamente il risultato, perché ogni termine tangenziale è elevato al quadrato.

3. Formula 2D per lo stato piano di tensione

Per una piastra sottile caricata nel proprio piano si assume generalmente σz = τyz = τzx = 0. La formula generale si riduce quindi all'espressione 2D.

Una sola tensione normale combinata con taglio corrisponde al caso particolare σy = 0: σᵥ = √(σx² + 3τxy²).

4. Formula mediante le tensioni principali

Nel sistema di riferimento principale, le tensioni tangenziali sono nulle. Questa forma è pratica quando σ₁, σ₂ e σ₃ provengono da un calcolo analitico o da un'analisi agli elementi finiti.

Uno stato idrostatico puro, con σ₁ = σ₂ = σ₃, fornisce σᵥ = 0 perché non produce distorsione.

5. Caso trazione–flessione–torsione

Nello stesso punto della sezione, sommare prima le tensioni assiale e di flessione con i rispettivi segni. La torsione fornisce poi la tensione tangenziale τ.

Verificare le fibre opposte quando la tensione di flessione cambia segno: la fibra critica non è sempre quella scelta intuitivamente.

6. Verifiche rapide di coerenza

Tre semplici casi limite aiutano a individuare errori di formula, segno o unità.

• Se tutte le tensioni tangenziali sono nulle e resta una sola tensione normale, σᵥ = |σ|.
• Se resta una sola tensione tangenziale τ, σᵥ = √3·|τ|.
• Se σ₁ = σ₂ = σ₃, σᵥ = 0.
• Il risultato non deve cambiare quando tutte le componenti sono espresse in un'altra unità coerente.

7. Limiti di impiego

Il confronto con il limite di snervamento presuppone, tra l'altro, un materiale duttile, uno stato tensionale valutato correttamente e una regola di progetto adeguata. I materiali fragili possono richiedere un altro criterio.

Fatica, saldature, plasticità, temperatura, concentrazioni delle tensioni, stabilità e requisiti normativi devono essere verificati separatamente quando pertinenti.