Contrainte de Von Mises : formules 2D, 3D et exemple

1. Définition et réponse immédiate

Le critère de Von Mises, aussi appelé critère de l’énergie de distorsion ou critère J₂, transforme un tenseur de contraintes en une contrainte équivalente positive. Il est principalement utilisé pour apprécier le début de plastification des matériaux ductiles.

La valeur est indépendante de l’orientation du repère, mais les composantes introduites dans une même formule doivent être cohérentes et évaluées au même point.

2. Formule générale 3D en composantes cartésiennes

Cette expression utilise les trois contraintes normales σx, σy, σz et les trois cisaillements indépendants τxy, τyz, τzx. Toutes les grandeurs doivent utiliser la même unité, par exemple le MPa.

Le signe des contraintes normales intervient dans leurs différences. Le signe d’un cisaillement n’affecte pas directement le résultat parce que chaque terme de cisaillement est élevé au carré.

3. Formule 2D en contraintes planes

Pour une plaque mince chargée dans son plan, on prend généralement σz = τyz = τzx = 0. La formule générale se réduit alors à cette expression 2D.

Une seule contrainte normale avec cisaillement correspond au cas particulier σy = 0 : σᵥ = √(σx² + 3τxy²).

4. Formule avec les contraintes principales

Dans le repère principal, les cisaillements sont nuls. Cette forme est pratique lorsque σ₁, σ₂ et σ₃ proviennent d’un calcul analytique ou d’un logiciel éléments finis.

Une contrainte hydrostatique pure, avec σ₁ = σ₂ = σ₃, donne σᵥ = 0 car elle ne produit aucune distorsion.

5. Cas traction–flexion–torsion

Au même point d’une section, additionnez d’abord la traction ou compression et la flexion avec leurs signes. La torsion fournit ensuite le cisaillement τ.

Calculez les fibres opposées lorsque la flexion change de signe : la fibre critique n’est pas toujours celle choisie intuitivement.

6. Contrôles rapides de cohérence

Trois limites simples permettent de détecter une erreur de formule, de signe ou d’unité.

• Si tous les cisaillements sont nuls et qu’une seule contrainte normale subsiste, σᵥ = |σ|.
• Si seule une contrainte de cisaillement τ subsiste, σᵥ = √3·|τ|.
• Si σ₁ = σ₂ = σ₃, σᵥ = 0.
• Le résultat ne doit pas changer si toutes les composantes sont exprimées dans une autre unité cohérente.

7. Limites d’utilisation

La comparaison à une limite élastique suppose notamment un matériau ductile, un état de contrainte correctement évalué et une règle de conception adaptée. Les matériaux fragiles peuvent nécessiter un autre critère.

Fatigue, soudures, plasticité, température, concentrations de contraintes, stabilité et exigences réglementaires doivent être vérifiées séparément lorsque le projet l’exige.