Moment quadratique polaire
mm⁴
Propriété géométrique de torsion de la section circulaire.
Mécanique · Arbres et torsion
Torsion d’un arbre plein ou creux
Évaluez la réponse élastique d’un arbre circulaire soumis à un couple constant, avec diamètre intérieur nul ou non nul.
Créé le v1.0
Par Thibaut Grzelak, ingénieur calcul mécanique
03
MétriqueRésultats
Contrainte de cisaillement maximale
MPa
Contrainte à la surface extérieure.
Angle de torsion
°
Rotation relative entre les deux extrémités.
Raideur torsionnelle
N·m/rad
Rapport T/θ = GJ/L.
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Note de calcul
Détail complet
Arbre circulaire plein ou creux, homogène et prismatique. Couple constant et comportement élastique linéaire. Sections planes restant planes et absence de concentration de contraintes. La formule ne s’applique pas directement aux sections non circulaires.
01Formules et symboles
Formules utilisées
J
π(D⁴ − d⁴)/32Moment polaireτmax
T(D/2)/JContrainte maximaleθ
TL/(GJ)Angle de torsionkt
GJ/LRaideur torsionnelle02Hypothèses et limites
Domaine de validité
- Arbre circulaire plein ou creux, homogène et prismatique.
- Couple constant et comportement élastique linéaire.
- Sections planes restant planes et absence de concentration de contraintes.
- La formule ne s’applique pas directement aux sections non circulaires.
03Exemple de vérification
Cas numérique de référence
- T = 2 kN·m, D = 60 mm, d = 40 mm, L = 1 m et G = 80 GPa.
- J = 1 021 017,6 mm⁴.
- τmax = 58,7649 MPa.
- θ = 1,40291° et kt = 81 681,4 N·m/rad.
04Questions fréquentes
Questions sur le calcul
Pourquoi la formule est-elle limitée aux sections circulaires ?
Une section circulaire ne subit pas le gauchissement complexe des sections non circulaires. Pour un rectangle ou un profil ouvert, une constante de torsion spécifique est nécessaire.
Quel module G utiliser ?
Utilisez le module de cisaillement du matériau à la température considérée. Pour un matériau isotrope, G = E/[2(1+ν)].
Le signe du couple change-t-il la contrainte maximale ?
Il change le sens de la contrainte et de la rotation. Les valeurs maximales affichées utilisent l’intensité du couple.
05Références
Références techniques
- Gere & Goodno, Mechanics of Materials, torsion des arbres circulaires.
- Roark’s Formulas for Stress and Strain, 9e édition.