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Technischer Ratgeber · Methode und Praxistipps

Flächenträgheitsmoment, Widerstandsmoment und Trägheitsradius

Querschnittswerte beschreiben nicht den Werkstoff, sondern ausschließlich, wie die Querschnittsfläche um die Achsen verteilt ist.

Geprüft am

Fläche nahe der AchseFläche weit von der Achse entferntI kleinerI größerI = ∫ y² dA
Material weiter von der Achse entfernt anzuordnen erhöht I stark, weil jedes Flächenelement mit dem Quadrat seines Abstands gewichtet wird.

Querschnittsfläche A

Die Fläche wird unter anderem zur Berechnung der Axialspannung σ = F/A, der längenbezogenen Masse ρA und der axialen Steifigkeit EA/L verwendet.

Sie sagt jedoch nichts darüber aus, wie das Material verteilt ist.

Flächenträgheitsmoment I

I = ∫ y² dA

Das Flächenträgheitsmoment hängt stark vom Abstand des Materials zur Achse ab. Dieselbe Fläche trägt bei doppeltem Abstand viermal so stark bei.

Ix und Iy müssen immer getrennt betrachtet werden: Ein Profil kann um seine starke Achse sehr steif und um seine schwache Achse deutlich nachgiebiger sein.

Widerstandsmoment W

W = I / c ; σmax = M / W

Das Widerstandsmoment verbindet I mit dem Abstand c bis zur Randfaser. Es wird direkt zur Abschätzung der maximalen elastischen Biegespannung verwendet.

Bei gleichem Moment M führt ein größeres W zu einer kleineren maximalen Spannung.

Trägheitsradius r

r = √(I/A)

Der Trägheitsradius beschreibt einen äquivalenten Abstand für die Verteilung der Fläche. Er geht in die Schlankheit λ = Lk/r von Druckstäben ein.

Die Achse mit dem kleinsten r ist in der Regel zuerst auf Knicken zu prüfen.

Achsen und Einheiten: die unverzichtbare Kontrolle

I wird in Länge hoch vier, W in Länge hoch drei und r in Länge angegeben. Eine Verwechslung von mm⁴ und m⁴ erzeugt einen Faktor von 10¹².

Prüfen Sie vor der Weiterverwendung eines Ergebnisses immer die Achsenbezeichnung, die Maßkonvention und die angezeigte Einheit.

Zahlenbeispiel

Durchgerechnetes Beispiel: Rechteck 100 × 200 mm

Verglichen werden die Flächenträgheitsmomente eines Rechtecks mit Breite b = 100 mm und Höhe h = 200 mm um seine beiden Schwerpunktachsen.

  1. A = b·h = 20 000 mm².
  2. Ix = b·h³/12 = 66,67 × 10⁶ mm⁴.
  3. Iy = h·b³/12 = 16,67 × 10⁶ mm⁴.
  4. Das Verhältnis Ix/Iy beträgt 4.
  5. Der Querschnitt ist damit geometrisch um x viermal steifer als um y, sofern alle übrigen Bedingungen gleich sind.

Ergebnis: Eine Drehung des Rechtecks um 90° vertauscht starke und schwache Achse, ohne Fläche oder Werkstoff zu verändern.

Klassische analytische Methode aus der Festigkeitslehre; das Zahlenbeispiel wurde für Formulaxis angepasst. Genaue Quelle öffnen ↗

Zur Prüfung und Vertiefung

Direkte Quellen

Jeder Link führt zur konkret verwendeten Kurs-, Norm- oder Veröffentlichungsseite und nicht nur zu einer allgemeinen Startseite.

  1. Mechanics & Materials IMIT OpenCourseWareUniversitätskurs zu Spannungen, Biegung, Torsion und Querschnittswerten.
  2. Das Internationale Einheitensystem, 9. AuflageInternationales Büro für Maß und Gewicht (BIPM)Offizielle Referenz für kohärente Einheiten, Symbole und Umrechnungen.
  3. NIST Special Publication 811 — Leitfaden zum SINational Institute of Standards and TechnologyPraktische Regeln zur korrekten Schreibweise und Umrechnung physikalischer Größen.

IPE-Träger: vollständig durchgerechnetes Beispiel

Starke Achse: 22.8 MPa und 1.81 mm. Schwache Achse: 156 MPa und 24.8 mm. Dies sind Modellergebnisse, keine Freigabe des Trägers.